若数列{an}满足an+2=an+1-an,Sn为{an}的前n项和，且S2=2008，S3=2010，证明{an}为周期数列，并求S2008

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 05:10:18
3）若数列{an}的首项a1=p,p∈[0，1/2)，且an+1=2an(1-an),判断数列{an}是否为周期数列，并证明你的结论

（1）
an+2=an+1-an an+1=an-an-1
an+2=-an-1 an-1=-an-4
an-4=an+2
全是下标 所以T=6， 即 a1=a7,a2=a8。。。。
又已知a3=2 ，a1+a2=2008 a3=a2-a1=2
所以a1=1003 a2=1005 a4=a3-a2=-1003 a5=a4-a3=-1005 a6=-2
6个为1周期，S6=0 2008/6=334...4
所以和是1007

（2）
p＝0时是的，周期为任意正整数。否则不是。数列的不动点x=2x(1-x)
解得x1=0,x2=1/2 所以在0< p<1/2时，不是周期数列........比较正规的写就是如果an周期数列，由方程知必须先有1项为0或1/2，否则后面的项不可能等于前面的项。
当p在（0,1/2)，用数归证0<an<1/2
当n=1，已知成立
设n=k成立，当n=k+1，ak+1=2ak(1-ak)=-2(ak-1/2)^2+1/2 当ak在（0，1/2），由二次函数表达式知ak+1也在(0,1/2) 所以n=k+1结论成立。
所以0<an<1/2
故在a1在（0，1/2）时，an不可能为周期数列

你的题目啊是a(n+2)=a(n+1)-an? 要不然好像有怪呢..